ما العلاقة بين الانحراف المعياري والمتوسط الحسابي؟

عزيزي الطالب، في علم الرياضيات، تكون العلاقة بين الانحراف المعياري والمتوسّط الحسابي علاقة غير مباشرة، و في ما يأتي توضيح ذلك:

الانحراف المعياري

هو مقياس لتوضيح مقدار الانحراف في مجموعة من البيانات المُقدمة عن المتوسط الحسابي، أمّا بالنسبة لصيغته الرياضية فتختلف حسب نوعه كالآتي:

1. قانون الانحراف المعياري لعينة ما من مجموعة كبيرة

الانحراف المعياري للعينة = [مجموع (س-الوسط الحسابي للعينة)² / (ن-1)]√ ^[١]

حيث إنّ:

ن: عدد القيم.

س: القيم المشمولة في الدراسة.

1. قانون الانحراف المعياري لكامل المجموعة

الانحراف المعياري للممجموعة = [مجموع (س-μ)²/ن]√

ن: عدد القيم.

μ : المتوسط الحسابي للقيم.

س: القيم المشمولة في الدراسة.

1. قانون الانحراف المعياري باستخدام الجداول التكرارية

الانحراف المعياري للجداول التكرارية = [مجموع (التكرار×(مركز الفئة - المتوسط الحسابي)²)/مجموع التكرارات]√

المتوسط الحسابي

هو متوسط القيم لمجموعة ما، ويُحسب بالعلاقة الآتية:

المتوسط الحسابي = مجموع القيم في المجموعة / عدد القيم في المجموعة ^[٢]

ملاحظة: يتضح لك من القوانين السابقة الخاصة بالانحراف المعياري، أنه لا يُمكن احتسابه إلا باحتساب المتوسط الحسابي، إضافةً إلى قياس مقدار التشتت في قيم المتوسط الحسابي والتي تنعكس على قيم الانحراف المعياري.

وإليك فيما يأتي مثال لتوضيح ذلك:

مثال: إذا علمت أنّ عدد الطلاب في نادي صيفي ما بين الأعمار 6-12 عامًا قُسمت على النحو الآتي، احسب المتوسط الحسابي والانحراف المعياري للقيم:

1. المتوسط الحسابي= مجموع القيم في المجموعة / عدد القيم في المجموعة
2. (7×4+ 5×10)/ (4+ 5)= (78/ 9)= 8.7.
3. الانحراف المعياري= [مجموع (التكرار×(مركز الفئة - المتوسط الحسابي)²)/مجموع التكرارات]√
4. الانحراف المعياري= (4×(7- 8.7)² + 5×(10- 8.7)²) / 9)√
5. الانحراف المعياري= ((4×2.89 + 5×1.69) / 9)√
6. الانحراف المعياري= (20.01/ 9)√
7. الانحراف المعياري= 1.49