ما هي الزوايا الخاصة؟

الزوايا الخاصة (بالإنجليزيّة: Special Angles) هي الزوايا المثلثية التي تحمل القياسات 30°، و45 °، و60°، ^[١] وهي تستخدم لتقييم الدالات المثلثية بدقة دون الاستعانة بالآلة الحاسبة، ما يساعد في حل عدد كبير من المسائل والمعادلات الرياضية.

يمكنك عزيزي التمييز بين الزوايا الخاصة في الأشكال الهندسية ببساطة؛ نظرًا لتواجدها في حالتين فقط من حالات المثلثات قائمة الزاوية، وهي كالآتي:

1. المثلث متساوي الساقين الذي تساوي قياس زواياه 45°، و45°، و90°.
2. المثلث الذي تساوي قياس زواياه 30°، و60°، و90°، وهو يعد حالة استثنائية للزوايا الخاصة.

يوضح لك الجدول أدناه قيم النسبة المثلثية للزوايا الخاصة (30°، 45°، 60°):

أمثلة على الزوايا الخاصة

المثال:

أوجد القيمة الفعلية للمسألة المثلثية التالية دون الاعتماد على الآلة الحاسبة:

ظا 30° - ظتا 60° + ظا 45°

الحل:

عوّض القيم الصحيحة في المسألة بالاعتماد على الجدول المبين أعلاه:

1. الناتج النهائي = 3√/1 - 3√/1 + 1
2. الناتج النهائي = 0 + 1
3. الناتج النهائي = 1

المثال:

أوجد القيمة الفعلية للمسألة المثلثية التالية دون الاعتماد على الآلة الحاسبة:

4 × قتا 30° + 4 × ظا 45° + 7 × قا 60°

الحل:

عوّض القيم الصحيحة في المسألة بالاعتماد على الجدول المبين أعلاه:

1. الناتج النهائي = (4 × 2) + (4 × 1) + (7 × 2)
2. الناتج النهائي = 8 + 4 + 14
3. الناتج النهائي = 26

تُسعدني مساعدتك، فقد بحثت لأُجيبك على أسئلتك، ووجدت أنّ الزاويا الخاصة هي الزوايا 30°، و45 °، و60° ومضاعفاتها؛ أيّ المضاعفات الصحيحة للقيم π/6، وπ/4، وπ/3 في الراديان، وتُقاس الزوايا الموجبة عكس اتجاه عقارب الساعة من محور السينات الموجب، في حين تُقاس الزوايا السالبة مع اتجاه عقارب الساعة من محور السينات الموجب.

سبب تسمية الزوايا الخاصة

سُميت الزوايا الخاصة بذلك لأنّها تُعطي قيمًا واضحة وسهلة الحفظ للنسب المثلثية؛ حيث لا تحتاج إلى استخدام الآلة الحاسبة لإيجادها، بل يُمكن حفظها بطريقة اليد؛ وهي أسهل طريقة لحفظ الزوايا في الرياضيات، وسأقوم بطرح قيم النسب المثلثية للزوايا الخاصة في جدول لتسهيل المعلومة عليك كما يأتي:

حيث أن:

1. باي= 180 درجة.
2. جيب الزاوية هي جا الزاوية= الضلع المقابل/الوتر.
3. جتا تمام الزاوية هي جتا الزاوية= الضلع المجاور/الوتر.
4. ظل الزاوية هي ظا الزاوية= جيب الزاوية/ جيب تمام الزاوية.
5. قاطع الزاوية هي قا الزاوية= 1/جتا الزاوية وهي مقلوب الجتا.
6. قاطع تمام هي قتا الزاوية= 1/جا الزاوية وهي مقلوب الجيب.
7. ظل تمام الزاوية= مقلوب ظل الزاوية= جيب تمام الزاوية/جيب الزاوية.

الزوايا الخاصة في الأشكال الهندسية

يُمكنك تمييز الزوايا الخاصة في الأشكال الهندسة بمعرفة قياسها، وتقع الزوايا الخاصة ضمن الزوايا الحادة؛ حيث يُمكن تصنيف الزوايا في الأشكال الهندسية حسب قياسها، وتكون كالآتي:

1. الزاوية الحادة وتكون قيمتها أكبر من 0° وأقل من 90°، وتكون الزوايا الخاصة من ضمنها.
2. الزاوية القائمة وتكون قيمتها 90°.
3. الزاوية المنفرجة وهي التي تكون أكبر من 90°.
4. الزاوية المستقيمة وهي التي تساوي 180°.