هل يمكن حساب طول القوس بالتكامل؟

عزيزي الطالب، يمكنك حساب طول القوس بالتكامل، فإيجاد طول القوس في منحنى يعتبر أحد أهم تطبيقات التكامل في الرياضيات، بالإضافة إلى إيجاد المساحات، والحجوم، والقيم المتوسطة.

فعندما يطلب منك المعلم في سؤال حساب طول القوس في منحنى، فهو يطلب منك إيجاد طول معادلة المنحنى، وصيغة محيط الدائرة التي يمثّل القوس جزءًا منها، فلو فرضنا مثلاً أنّ القوس اسمه ﻡ معرّف بالمعادلة ﺹ يساوي ﺩﺱ، فإنّ طول القوس م يتم إيجاده عن طريق تقسيم القوس إلى قطع صغيرة مستقيمة، ثمّ إيجاد طول القوس كاملًا، وكأنّ طول القوس م يمثل مجموع أطوال القطع الجزئية.

وهذه الطريقة تجعلنا نجد طول القوس بطريقة تقريبية، أي أنّ طول القوس الناتج هو الطول التقريبي لطول القوس الحقيقي إلى حد كبير، وتسمى هذه النظرية رياضيًا نظرية القيمة المتوسطة، وهي تتبع طريقة التكامل المحدود.

فلو كان ق(س) عبارة عن معادلة اقتران المنحنى في الفترة [أ، ب]، فإنّ طول القوس م الذي يمثل جزءًا من هذا المنحنى من النقطة (أ، ق(أ)) إلى النقطة (ب، ق(ب)) تعطى بالعلاقة الرياضية الآتية:

طول القوس م = ∫ من أ الى ب= ((أ + قَ (س)^2)) √ دس

مثال: إذا كان ق(س) = 2 × س^(3/2)، جد طول القوس للمنحنى ق(س) للفترة [0، 1]

الحل:

1. أولًا نجد قَ(س) = 3 × س^(1/2).
2. ثانيًا نجد قَ (س)^2 = 9 × س.
3. ثالثًا نطبق القانون:
4. طول القوس م = ∫ من أ الى ب= ((1 + قَ (س)^2)) √ دس.
5. نعوض أ = 0.
6. نعوض ب = 1.
7. ( أ + 9× س^2) √ دس.
8. نفترض أن ما تحت الجذر = ع.
9. ع = ( أ + 9× س^2).
10. اذًا دع = 9 × دس.
11. إذا كانت س = 0، فإن ع = 1.
12. إذا كانت س =1 ، فإن ع = 10.
13. طول القوس م = (1/9) ∫ من أ الى ب ((1 + 9 × س)) √ × 9 × دس.
14. م = (1/9) ∫ من 1 الى 10 (ع√) دع.
15. (1/9) × (2/3) × ع^(3/2)(في الفترة من 1 الى 10) = (2/27) [ (10× 10√) - 1 ].
16. م = 2.267 وحدة طول = طول القوس التقريبي.