ما أوضح الأمثلة على الاحتمال الشرطي؟

أهلاً بك، أتمنى لك التوفيق في درسك، من خلال عملي كمعلمة رياضيات لفترة طويلة، أُخبرك أنه يُفضل في البداية ذِكر تعريف بسيط للطلاب عن الاحتمال الشرطي، ثم تعريفهم على كيفية كتابة القانون أو العبارة التي تدل على هذا المبدأ، وبعدها لا محالة سوف يكون هنالك حاجة لذكر مثال وطريقة حله، وفيما يأتي توضيح ذلك:

التعريف

لتعريف هذا المبدأ يجب وجود حدثين منفصلين وليُطلق عليهما الحدث أ والحدث ب، وحينها يُمكن تعريف الاحتمال الشرطي على أنه احتمالية وقوع الحدث ب بشرط وقوع الحدث أ، أو احتمال وقوع الحدث ب مع العلم المسبق بوقوع الحدث أ.

القوانين

1. الاحتمال هو عناصر الحدث مقسوم على عناصر فضاء العينة كاملًا، ويُمَثل ذلك رياضيًا كما يأتي:

ل (أ) = عناصر الحدث أ \ عدد عناصر فضاء العينة

1. أما الاحتمال الشرطي فيمثل رياضيًا كما يأتي:

ل (أ | ب) = ل (أ⋂ب) \ ل (ب)

حيث إن:

1. ل (أ | ب): هو الاحتمال الشرطي لوقوع الحدث أ علمًا بأن الحدث ب قد وقع.
2. ل (أ ⋂ ب): هو احتمال وقوع الحدث أ متقاطعًا مع الحدث ب، أي وقوعهما معًا.
3. ل (ب): هو احتمال وقوع الحدث ب.

مثال

من أوضح الأمثلة على الاحتمال الشرطي هي تجربة إلقاء حجر النرد، وبعد تحديد أن الحدث أ يدل على ظهور الأرقام الفردية، والحدث ب يدل على ظهور رقم أقل أو يساوي للرقم 3، فما هو احتمال وقوع الحدث أ إذا وقع الحدث ب، أو بصيغة أخرى ما الاحتمال الشرطي لوقوع الحدث أ علمًا بأن الحدث ب قد وقع، أو أوجد ل (أ | ب)؟

خطوات الحل

1. تحديد فضاء العينة وهو كل الاحتمالات الواردة عند إلقاء حجر النرد (1،2،3،4،5،6).
2. حساب احتمال ب وهو ظهور أرقام أقل أو تساوي 3 وهي (1،2،3)، وذلك يعني أن ل (ب) = 6/3 = 1/2
3. حساب تقاطع الاحتمالين أ (1،3،5) وب (1،2،3)، ومن الواضح أن تقاطع المجموعتين (أ ⋂ ب) هو (1،3)، وأن احتمالية حدوث التقاطع ل (أ⋂ب) = 2/6 = 1/3
4. حساب الاحتمال الشرطي؛ ل (أ | ب) = ل (أ⋂ب) \ ل (ب) = 3/2

ومن الممكن أيضًا تبديل قطعة النرد بقطعتين نقديتين أو أكثر لمثال آخر على الاحتمال الشرطي، وتكون الأحداث حينها ترتبط بظهور وجه أو كتابة.